Question

2．用數(shù)學歸納法證明：
（1）1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）（n∈N^*）；
（2）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（3）1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，去證明等式成立；②假設當n=k時，等時成立，用上歸納假設后，去證明當n=k+1時，等式也成立即可．

解答 證明：（1）①當n=1時，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
②假設n=k時等式成立，即1+2+3+…+k=$\frac{1}{2}$k（k+1），
當n=k+1時，1+2+3+…+k+k+1=$\frac{1}{2}$k（k+1）+（k+1）=$\frac{1}{2}$（k+1）•（k+2），等式成立，
由①②1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）對n∈N^*等式成立；
（2）：①當n=1時，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
②假設n=k時等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
當n=k+1時，等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
由①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²對n∈N^*等式成立．，
（3）①）當n=1時，左邊=1，右邊=2¹-1=1，
∴等式成立，
②假設當n=k時，等時成立，即1+2+2²+…+2^k-1=2^k-1，
那么，當n=k+1時，1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k，
=2×2^k-1，
=2^k+1-1，
這就是說，當n=k+1時，等式也成立，
由①②，可知1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，對n∈N^*等式成立．

點評 本題考查用數(shù)學歸納法證明等式成立，用數(shù)學歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．本題解題的關鍵是利用第二步假設中結論證明當n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．