Question

9．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{3}{x}$+2，（x≥$\sqrt{3}$）．
①判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．
②若函數(shù)g（x）=f（x）+x²-3x-$\frac{3}{x}$，且滿足g（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 ①函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)加以證明．
②若函數(shù)g（x）=f（x）+x²-3x-$\frac{3}{x}$，且滿足g（x）≥a恒成立，則x²-2x+2≥a（x≥$\sqrt{3}$）恒成立，求出左邊的最小值，即可求a的取值范圍．

解答 解：①函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞]上單調(diào)遞增．
證明如下：∵f（x）=x+$\frac{3}{x}$+2，
∴f′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$，
∵x≥$\sqrt{3}$，
∴f′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$≥0，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增．
②∵函數(shù)g（x）=f（x）+x²-3x-$\frac{3}{x}$，且滿足g（x）≥a恒成立，
∴x²-2x+2≥a（x≥$\sqrt{3}$）恒成立，
∵x≥$\sqrt{3}$，∴x²-2x+2≥5-2$\sqrt{3}$，
∴a≤5-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．