Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：（x-2）²+（y-3）²=1，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（p∈R）．
（1）求曲線C的參數(shù)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C與直線l相交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）令x-2=cosα，y-3=sinα即可得出曲線C的參數(shù)方程，直線l過原點(diǎn)，且斜率為tanθ，利用點(diǎn)斜式方程寫出直線l的方程；
（2）解方程組求出A，B坐標(biāo)，得到AB，則P到AB的最大距離為C到AB的距離與圓C的半徑的和．

解答 解：（1）令x-2=cosα，y-3=sinα，則x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=3+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
直線l的斜率k=tanθ=1，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x．
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
設(shè)A（2，2），B（3，3）．則|AB|=$\sqrt{（2-3）^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵圓C的圓心為C（2，3），半徑r=1，∴C到直線AB的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．∴P到直線AB的最大距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1．
∴△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．