Question

13．已知函數(shù)f（x）=2cos（x-$\frac{2}{3}$π）+2cosx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）若sinx=$\frac{4}{5}$，求函數(shù)f（x）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用差角公式展開合并得到f（x），根據(jù)x的范圍求出cosx，代入計算即可；
（2）使用輔助角公式繼續(xù)化簡f（x），根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=2cos$\frac{2π}{3}$cosx+2sin$\frac{2π}{3}$sinx+2cosx=cosx+$\sqrt{3}$sinx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，sinx=$\frac{4}{5}$，∴cosx=-$\frac{3}{5}$．
∴f（x）=cosx+$\sqrt{3}$sinx=-$\frac{3}{5}$+$\frac{4\sqrt{3}}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{5}$．
（2）∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$時，f（x）取得最大值$\sqrt{3}$，當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，f（x）取得最小值-1．
∴f（x）的值域是[-1，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．