Question

13．為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：

天數(shù)x/天	1	2	3	4	5	6
繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)	6	12	25	49	95	190

（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）求y與x之間的回歸方程；
（3）計(jì)算殘差、相關(guān)指數(shù)R²，并描述解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖即可；
（2）由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線y=ce^bx（c＞0）的周圍，用lny=bx+lnc，再畫出相應(yīng)的散點(diǎn)圖；計(jì)算對(duì)應(yīng)的線性回歸方程，從而得出細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程；
（3）計(jì)算殘差，相關(guān)指數(shù)R²，說明解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系．

解答 解：（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖1所示；

（2）由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線y=ce^bx（c＞0）的周圍，則lny=bx+lnc．

x	1	2	3	4	5	6
z	1.79	2.48	3.22	3.89	4.55	5.25

畫出相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖2；
從圖2可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合；
由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為z=0.69x+1.115；
因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程為y=e^0.69x+1.115；
（3）殘差計(jì)算如下表：

天數(shù)	1	2	3	4	5	6
殘差	0.080	0.122	-0.833	-5.405	1.063	1.521

相關(guān)指數(shù)R²=0.97，說明解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系約97%的擬合程度．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了回歸方程和利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，以及計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是難題．