Question

4．已知$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$為單位向量，且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|．求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的平方即為模的平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義和夾角范圍，計算即可得到夾角．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$為單位向量，且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，
則（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=3（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²，
即有${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=3（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$），
2${\overrightarrow{a}}^{2}$-8$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2${\overrightarrow}^{2}$=0，
即有2-8×1×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+2-=0，
即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
則有$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考查向量的平方即為模的平方，屬于基礎(chǔ)題．