Question

13．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，BC=1，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點，使△DEF為等邊三角形，求其最小的周長．

Answer 1

分析 設等邊△DEF的邊長為x，顯然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，得到∠EDB=α，在三角形BDE中，利用正弦定理列出關系式，表示出BE，由BE+EC=BC，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，得到三角形的邊長，求出邊長的最小值，即可得到最小周長．

解答 解：設等邊△DEF的邊長為x，∠FEC=α，
顯然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，
∵∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=α．
在△BDE中，由正弦定理得$\frac{x}{sin60°}$=$\frac{BE}{sinα}$，
∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$xsinα，
∵BE+EC=BC，∴xcosα+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$xsinα=1，
∴x=$\frac{1}{cosα+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinα}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}cosα+\frac{2}{\sqrt{7}}sinα）}$
=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}sin（α+θ）}$（cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$）．
當α+θ=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{2}$-θ時，x_min=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
此時△DEF的最小周長為$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

點評 此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的值域，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵