Question

20．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中點(diǎn)，CD=PD=AD=$\frac{1}{2}$AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥AB；
（Ⅱ）若CE=$\sqrt{3}$，AB=4，求三棱錐A-PCD的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF，證明四邊形EFDC為平行四邊形，推出CE∥DF，利用AB⊥平面PAD，證明CE⊥AB．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)O為PD的中點(diǎn)，連結(jié)AO，如圖所示，證明△ADP為正三角形，推出AD⊥PD，求出AD=$\sqrt{3}$，證明AO⊥平面PCD．然后求出三棱錐A-PCD的高．

解答 （Ⅰ）證明：取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF，如圖所示．
因?yàn)辄c(diǎn)E是PB中點(diǎn)，
所以EF∥AB且EF=$\frac{1}{2}AB$．（1分）
又因?yàn)锳B∥CD且CD=$\frac{1}{2}AB$，
所以EF∥CD且EF=CD，（2分）
所以四邊形EFDC為平行四邊形，
所以CE∥DF，（3分）
因?yàn)锳B⊥平面PAD，DF?平面PAD，
所以AB⊥DF．（4分）
所以CE⊥AB．（5分）
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)O為PD的中點(diǎn)，連結(jié)AO，如圖所示，
因?yàn)锽C=$\sqrt{3}$，AB=4，
由（Ⅰ）知，DF=$\sqrt{3}$，（6分）
又因?yàn)锳B=4，所以PD=AD=2，
所以AP=2AF=2$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=2$\sqrt{4-3}$=2，（7分）
所以△ADP為正三角形，（8分）
所以AD⊥PD，且AD=$\sqrt{3}$．（9分）
因?yàn)锳B⊥平面PAD，AB∥CD，
所以CD⊥平面PAD．（10分）
因?yàn)锳D?平面PAD，
所以CD⊥AO，（11分）
又因?yàn)镻D∩CD=D，所以AO⊥平面PCD．
所以三棱錐A-PCD的高為$\sqrt{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及三棱錐的高等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．