Question

6．國內(nèi)某大學(xué)有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學(xué)生的運動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取100人，調(diào)查他們平均每天運動的時間（單位：小時），統(tǒng)計表明該校學(xué)生平均每天運動的時間范圍是[0，3]，若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學(xué)生為“運動達人”，低于2小時的學(xué)生為“非運動達人”．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)按性別與“是否為‘運動達人’”進行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表：

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36
女生		26
合計			100

（1）請根據(jù)題目信息，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補充完整，并通過計算判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為性別與“是否為‘運動達人’”有關(guān)；
（2）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查該校的3名男生，設(shè)調(diào)查的3人中運動達人的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）計算觀測值K²，根據(jù)臨界值表即可作出結(jié)論；
（2）分別計算X=0，1，2，3時的概率，寫出分布列，根據(jù)分布列得出數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（1）由題意，該校根據(jù)性別采取分層抽樣的方法抽取的100人中，有60人為男生，40人為女生，據(jù)此2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補充如下．

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36	24	60
女生	14	26	40
合計	50	50	100

由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值$k=\frac{{100×{{（36×26-24×14）}^2}}}{50×50×60×40}=6＞5.024$，
所以在犯錯誤概率不超過0.025的前提下，可以認為性別與“是否為‘運動達人’”有關(guān)．…（6分）
（2）由題意可知，該校每個男生是運動達人的概率為$\frac{36}{60}=\frac{3}{5}$，故X～$B（{3，\;\;\frac{3}{5}}）$，
X可取的值為0，1，2，3，
所以$P（X=0）=C_3^0{（{\frac{2}{5}}）^{3-0}}{（{\frac{3}{5}}）^0}=\frac{8}{125}$，$P（X=1）=C_3^1{（{\frac{2}{5}}）^{3-1}}{（{\frac{3}{5}}）^1}=\frac{36}{125}$，$P（X=2）=C_3^2{（{\frac{2}{5}}）^{3-2}}{（{\frac{3}{5}}）^2}=\frac{54}{125}$，$P（X=3）=C_3^3{（{\frac{2}{5}}）^{3-3}}{（{\frac{3}{5}}）^3}=\frac{27}{125}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴$E（X）=3×\frac{3}{5}=\frac{9}{5}$，$D（X）=3×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{18}{25}$．…（12分）

點評 本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法問題，是綜合性題目．