Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且a₁₀=8，S₃=0．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=(

1

2

)an，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若不等式

k

4-Tn

≥2an-3對(duì)于n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接根據(jù)題中的條件建立方程組求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的結(jié)論求數(shù)列的和．
（3）首先構(gòu)造新的數(shù)列，再證明數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)一步利用恒成立問(wèn)題求出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵

a1+9d=8 3a1+3d=0

∴

a1=-1 d=1

，
求得：a_n=n-2
（2）∵bn=(

1

2

)n-2=2(

1

2

)n-1，
∴{bn}是首項(xiàng)為b1=2，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
故Tn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4[1-(

1

2

)n]=4-(

1

2

)n-2
(3)由

k

4-Tn

=

k•2n

4

≥2n-7對(duì)n∈N*恒成立，
∴

k

4

≥

2n-7

2n

對(duì)n∈N*恒成立．
令Cn=

2n-7

2n

，
由Cn+1-Cn=

2n-5

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n+1

，
當(dāng)1≤n＜5時(shí)C_n+1＞C_n
當(dāng)n≥5時(shí)C_n+1＜C_n
∴{Cn}中的最大項(xiàng)為C5=

3

32

，
∴

k

4

≥

3

32

，故k≥

3

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列的求和，恒成立問(wèn)題的應(yīng)用．屬于中等題型．