Question

5．已知x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥2}\\{x≤2}\end{array}}\right.$，則z=2x+y的最大值與最小值之和為9．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，分別求出最大值和最小值即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，
此時(shí)z最大．由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（2，2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×2+2=4+2=6．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為6．
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=-2x+z的截距最小，
此時(shí)z最�。�由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（1，1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×1+1=3．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為3．
則最大值和最小值之和為6+3=9，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．