Question

9．已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）+1=f（x）+f（x），且f（$\frac{1}{2}$）=0；②當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證：f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x∈[$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$]（n∈N^*）時(shí)，f（x）≤1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）令y=x可得f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）令y=x可得f（2x）+1=f（x）+f（x），
所以f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）…（3分）
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，則2x∈[$\frac{1}{2}$，1]，所以f（2x）≤0
又f（2x）+1=2f（x），所以f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）≤$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$
所以當(dāng)n=1時(shí)命題成立．…（7分）
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即當(dāng)x∈[$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，$\frac{1}{{2}^{k}}$]（k∈N^*）時(shí)，f（x）≤1-$\frac{1}{{2}^{k}}$
則當(dāng)n=k+1時(shí)，x∈[$\frac{1}{{2}^{k+2}}$，$\frac{1}{{2}^{k+1}}$]，2x∈[$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，$\frac{1}{{2}^{k}}$]，則
f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立．…（15分）
綜上①②可知，當(dāng)x∈[$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$]（n∈N^*）時(shí)，f（x）≤1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．