Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d有兩個極值點-1和

7

3

，且f（x）的圖象在原點處的切線與直線x-7y=0垂直．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）設t=sin²x-sinx，試比較f（t）與f（-1）的大�。�

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f（0）=d=0，f′（x）=c=-7，-

2b

3a

=-1+

7

3

，

c

3a

=-

7

3

，由此能求出a，b，c，d的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=3x²-4x-7，由此利用導數性質能求出f（t）＜f（-1）．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
依題得：

f(0)=d=0 f′(0)=c=-7 - 2b 3a =-1+ 7 3 c 3a =- 7 3

⇒

a=1 b=-2 c=-7 d=0

，
∴a=1，b=-2，c=-7，d=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=3x²-4x-7，
∴f（x）在(-∞，-1)，(

7

3

，+∞)上遞增，在(-1，

7

3

)上遞減，
∴當x∈[-1，

7

3

]時，f（x）_max=f（-1），
又t=sin2x-sinx=(sin-

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，2]⊆[-1，

7

3

]，
∴f（t）＜f（-1）．

點評：本題重點考查利用導數研究函數的性質，利用函數的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數推理論證能力，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．