3.若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t,函數(shù)f(x)=(x-t)3+(x-lnt)3-3ax在R上都是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.$(-∞,\frac{1}{2}]$B.$(-∞,\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$C.$(-∞,\sqrt{2}]$D.(-∞,2]

分析 利用f(x)=(x-t)3+(x-lnt)3-3ax在R上都是增函數(shù),可得f′(x)=3(x-t)2+3(x-lnt)2-3a≥0在R上恒成立,分離參數(shù)a≤(x-t)2+(x-lnt)2,再求出右邊的最小值,即可得出結(jié)論.

解答 解:∵f(x)=(x-t)3+(x-lnt)3-3ax在R上都是增函數(shù),
∴f′(x)=3(x-t)2+3(x-lnt)2-3a≥0在R上恒成立,
∴a≤(x-t)2+(x-lnt)2,
(x-t)2+(x-lnt)2=2(x-$\frac{t+lnt}{2}$)2+$\frac{(t-lnt)^{2}}{2}$≥$\frac{(t-lnt)^{2}}{2}$,
令y=t-lnt,則y′=1-$\frac{1}{t}$,
∴(0,1)上,y′<0,(1,+∞)上,y′>0,
∴t=1時(shí),ymin=1,
∴$\frac{(t-lnt)^{2}}{2}$的最小值為$\frac{1}{2}$,
∴a≤$\frac{1}{2}$,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x}{x+a}$,若函數(shù)y=f(x+2)-1為奇函數(shù),則a=-2.

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14.已知{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.若a1=16,且a4與a7的等差中項(xiàng)為$\frac{9}{8}$,則S5的值( 。
A.29B.31C.33D.35

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11.邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)M(包括邊界)滿足:$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+λ$\overrightarrow{CB}$(λ∈R),則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CM}$的取值范圍為(  )
A.[$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$]B.[$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$]C.[$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$]D.[$\frac{1}{3}$,$\frac{5}{6}$]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.已知等差數(shù)列{an}中,a1=12,公差為d,a3>0,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)|an|最。
(Ⅰ)求公差d的取值范圍;
(Ⅱ)若d∈Z(Z為整數(shù)集),求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.甲、乙、丙三人參加某次招聘會(huì),若甲應(yīng)聘成功的概率為$\frac{4}{9}$,乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為$\frac{t}{3}$(0<t<3),且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的.
(Ⅰ)若甲、乙、丙都應(yīng)聘成功的概率是$\frac{16}{81}$,求t的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)ξ表示甲、乙兩人中被聘用的人數(shù),求ξ的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知an+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$,若a1=$\frac{1}{2}$
(1)求a2,a3,a4,a5的值,并猜想an的表達(dá)式;
(2)并用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.國(guó)家AAAAA級(jí)八里河風(fēng)景區(qū)五一期間舉辦“管仲杯”投擲飛鏢比賽.每3人組成一隊(duì),每人投擲一次.假設(shè)飛鏢每次都能投中靶面,且靶面上每點(diǎn)被投中的可能性相同.某人投中靶面內(nèi)陰影區(qū)域記為“成功”(靶面正方形ABCD如圖所示,其中陰影區(qū)域的邊界曲線近似為函數(shù)y=Asinx的圖象).每隊(duì)有3人“成功”獲一等獎(jiǎng),2人“成功”獲二等獎(jiǎng),1人“成功”獲三等獎(jiǎng),其他情況為鼓勵(lì)獎(jiǎng)(即四等獎(jiǎng))(其中任何兩位隊(duì)員“成功”與否互不影響).
(Ⅰ)求某隊(duì)員投擲一次“成功”的概率;
(Ⅱ)設(shè)X為某隊(duì)獲獎(jiǎng)等次,求隨機(jī)變量X的分布列及其期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.如圖,平面四邊形ABCD中,角∠A+∠C=180°,且AB=3,BC=CD=7,DA=5.
(Ⅰ)求∠C;
(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積S.

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同步練習(xí)冊(cè)答案