Question

2．已知函數(shù)f（x）=（x-c）|x-c|，g（x）=alnx．
（1）試判斷函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)性；
（2）記F（x）=f（x）+g（x），a＜0，c＞0．
①當(dāng)c=$\frac{a}{2}$+1時(shí)，若F（x）≥$\frac{1}{4}$對(duì)x∈（c，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②設(shè)函數(shù)F（x）的圖象在點(diǎn)P（x₁，F(xiàn)（x₁）），Q（x₂，F(xiàn)（x₂））處的切線分別為l₁，l₂，若x₁=$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，x₂=c，且l₁⊥l₂，求實(shí)數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）①若f（x）≥$\frac{1}{4}$對(duì)x∈（c，+∞）恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可；
②由l₁⊥l₂知，f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）f′（c）=-1，得到f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=-$\frac{c}{a}$，分類討論，再由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可得到實(shí)數(shù)c的最小值．

解答 解：（1）x≥c時(shí)，f（x）=（x-c）²，在（c，+∞）遞增，
x＜c時(shí)，f（x）=-（x-c）²，在（-∞，c）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
a＞0時(shí)，g（x）=xlnx在（0，+∞）遞增，
a=0時(shí)，g（x）=0是常函數(shù)，
a＜0時(shí)，g（x）=xlnx在（0，+∞）遞減；
（2）①當(dāng)x＞c，c=$\frac{a}{2}$+1時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$，而c=$\frac{a}{2}$+1＜1，所以
當(dāng)c＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上單調(diào)減；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)增．
所以函數(shù)f（x）在（c，+∞）上的最小值為f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
所以$\frac{{a}^{2}}{4}$≥$\frac{1}{4}$恒成立，解得a≤-1或a≥1，
又由c=$\frac{a}{2}$+1＞0，得a＞-2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，-1]． 
②由l₁⊥l₂知，f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）f′（c）=-1，而f′（c）=$\frac{a}{c}$，則f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=-$\frac{c}{a}$，
若$\sqrt{-\frac{a}{2}}$≥c，則f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=$\frac{2（-\frac{a}{2}）-2c\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}{\sqrt{-\frac{a}{2}}}$=-2c，所以-2c=-$\frac{c}{a}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，不符合題意；                     
故$\sqrt{-\frac{a}{2}}$＜c，則f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=$\frac{-2（-\frac{a}{2}）+2c\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}{\sqrt{-\frac{a}{2}}}$=-$\sqrt{-8a}$+2c=-$\frac{c}{a}$，
整理得，c=$\frac{a\sqrt{-8a}}{2a+1}$，由c＞0得，a＜-$\frac{1}{2}$，
令$\sqrt{-8a}$=t，則a=-$\frac{{t}^{2}}{8}$，t＞2，所以c=$\frac{-\frac{{t}^{2}}{8}•t}{-\frac{{t}^{2}}{4}+1}$=$\frac{{t}^{3}}{{2t}^{2}-8}$，
設(shè)g（t）=$\frac{{t}^{3}}{{2t}^{2}-8}$，則g′（t）=$\frac{{2t}^{2}{（t}^{2}-12）}{{（{2t}^{2}-8）}^{2}}$，
當(dāng)2＜t＜2$\sqrt{3}$時(shí)，g′（t）＜0，g（t）在（2，2$\sqrt{3}$）上單調(diào)減；
當(dāng)t＞2$\sqrt{3}$時(shí)，g′（t）＞0，g（t）在（2$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)增．
所以，函數(shù)g（t）的最小值為g（2$\sqrt{3}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，故實(shí)數(shù)c的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．