Question

12．如圖，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓C₂：x²+y²=b²，已知橢圓C₁過點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），焦距為2．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）橢圓C₁的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線t＞1，與圓C₂相交于點A、B，直線EA、EB與橢圓C₁的另一個交點分別是點P、M．設PM的斜率為k₁，直線l斜率為k₂，求$\frac{k_2}{k_1}$的值．

Answer 1

分析 （1）將點代入橢圓方程，解方程組，求得a²=2，b²=1，可得橢圓C₁的方程；
（2）設出PE所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立求得P、M的坐標，則k₁可求，聯(lián)立直線PE的方程與圓的方程求得M坐標，則直線l斜率為k₂求，作比可得$\frac{k_2}{k_1}$的值．

解答 解：（1）∵橢圓C₁過點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），焦距為2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$解方程組，求得a²=2，b²=1，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）由題意知直線PE，ME的斜率存在且不為0，PE⊥EM，
不妨設直線PE的斜率為k（k＞0），則PE：y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}\\ y=\frac{{2{k^2}-1}}{{2{k^2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$，∴$P（\frac{4k}{{2{k^2}+1}}，\frac{{2{k^2}-1}}{{2{k^2}+1}}）$．…（6分）
用$-\frac{1}{k}$去代k，得$M（\frac{-4k}{{2+{k^2}}}，\frac{{2-{k^2}}}{{2+{k^2}}}）$，…（8分）
則${k_1}={k_{PM}}=\frac{{{k^2}-1}}{3k}$…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2k}{{{k^2}+1}}\\ y=\frac{{{k^2}-1}}{{{k^2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$∴$A（\frac{2k}{{{k^2}+1}}，\frac{{{k^2}-1}}{{{k^2}+1}}）$．…（12分）
則${k_2}={k_{OA}}=\frac{{{k^2}-1}}{2k}$，所以$\frac{k_2}{k_1}=\frac{3}{2}$．…（14分）

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，考查了方程組的解法，訓練了利用基本不等式求最值，考查了學生的運算能力，屬高考試題中的壓軸題．