Question

如圖，直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)．

(1)證明：BC₁∥平面A₁CD；

(2)設(shè)AA₁＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱錐CA₁DE的體積．

Answer 1

 (1)證明：連接AC₁交A₁C于點(diǎn)F，則F為AC₁中點(diǎn)，連接DF.

又D是AB中點(diǎn)，則BC₁∥DF.

因?yàn)?i>DF⊂平面A₁CD，BC₁⊄平面A₁CD，所以BC₁∥平面A₁CD.

(2)解析：因?yàn)?i>ABCA₁B₁C₁是直三棱柱，所以AA₁⊥CD.

又因?yàn)?i>AC＝CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB.

又AA₁∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB₁A₁.

由AA₁＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，

A₁D＝，DE＝，A₁E＝3，

故A₁D²＋DE²＝A₁E²，即DE⊥A₁D.

所以VC－A₁DE＝××××＝1.