Question

17．已知函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]，函數(shù)g（x）=kx+t，記h（x）=|f（x）-g（x）|．把函數(shù)h（x）的最大值L稱為函數(shù)f（x）的“線性擬合度”．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，g（x）=-x+2，求此時函數(shù)f（x）的“線性擬合度”L；
（2）若函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]的值域為[m，n]（m＜n），g（x）=t，求證：L≥$\frac{n-m}{2}$；
（3）設(shè)f（x）=2$\sqrt{x}$，x∈[1，4]，求k的值，使得函數(shù)f（x）的“線性擬合度”L最小，并求出L的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，將f（x）和g（x）帶入h（x）求出h（x）的表達式，求出此時h（x）的最大值即可；
（2）由定義寫出h（x）的表達式，以及L可能的取值情況，再用絕對值不等式性質(zhì)即可得到所求；
（3）寫出h（x）的函數(shù)表達式，討論k的不同取值情況時函數(shù)的單調(diào)性，求出其對應的L值．

解答 解：由題意，得
（1）$h（x）=|{x+\frac{2}{x}-2}|$，（x∈[1，4]），
$h（x）=x+\frac{2}{x}-2≥2\sqrt{2}-2＞0$，當且僅當x=$\frac{2}{x}$即x=$\sqrt{2}$時取“=”，
所以$h（x）=x+\frac{2}{x}-2$，
又因為h（x）在$x∈[1\;，\;\sqrt{2}]$時單調(diào)遞減，在$x∈[\sqrt{2}\;，\;4]$時單調(diào)遞增，
且h（1）=1，$h（4）=\frac{5}{2}$，
所以h（x）≤$\frac{5}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的“線性擬合度”$L=\frac{5}{2}$；
（2）h（x）=|f（x）-t|，又f（x）∈[m，n]，
所以L≥|m-t|，L≥|n-t|，
所以：2L≥|m-t|+|n-t|≥|（m-t）-（n-t）|=|m-n|=n-m．          
所以2L≥n-m，即$L≥\frac{n-m}{2}$；   
（3）因為g（x）=kx+t，f（x）=2$\sqrt{x}$，x∈[1，4]，
所以$h（x）=|2\sqrt{x}-kx-t|$，x∈[1，4]，
令$y=2\sqrt{x}-kx$，x∈[1，4]，
Ⅰ：當k≤0時，$y=2\sqrt{x}-kx$在x∈[1，4]時單調(diào)遞增，
所以y∈[2-k，4-4k]，
由（2）知，$L≥\frac{4-4k-（2-k）}{2}=\frac{2-3k}{2}$≥1，
所以當k=0時，取“=”，L最小為1；
Ⅱ：當k＞0時，$y=-k{（{\sqrt{x}-\frac{1}{k}}）^2}+\frac{1}{k}$，（$\sqrt{x}∈[1\;，\;2]$）
①當$\frac{1}{k}≥2$，即$0＜k≤\frac{1}{2}$時，
$y=2\sqrt{x}-kx$在x∈[1，4]時單調(diào)遞增，
所以y∈[2-k，4-4k]，
由（2）知，$L≥\frac{4-4k-（2-k）}{2}=\frac{2-3k}{2}$ $≥\frac{1}{4}$，
當且僅當k=$\frac{1}{2}$時，取“=”，L最小為$\frac{1}{4}$；            
②當$\frac{3}{2}≤\frac{1}{k}＜2$，即$\frac{1}{2}＜k≤\frac{2}{3}$時，
$y∈[{2-k\;，\;\frac{1}{k}}]$，
由（2）知，$L≥\frac{{k+\frac{1}{k}-2}}{2}≥\frac{1}{12}$，當且僅當$k=\frac{2}{3}$時取等號，L最小為$\frac{1}{12}$；
③當$1≤\frac{1}{k}＜\frac{3}{2}$，即$\frac{2}{3}＜k≤1$時，
$y∈[{4-4k\;，\;\frac{1}{k}}]$，
由（2）知，$L≥\frac{{4k+\frac{1}{k}-4}}{2}＞\frac{1}{12}$；              
④當$0＜\frac{1}{k}＜1$，即k＞1時，
$y=2\sqrt{x}-kx$在x∈[1，4]時單調(diào)遞減，
y∈[4-4k，2-k]，
由（2）知，$L≥\frac{3k-2}{2}＞\frac{1}{2}$．              
綜上所述，當且僅當$k=\frac{2}{3}$時，${L_{min}}=\frac{1}{12}$．

點評 本題屬于創(chuàng)新型題型，關(guān)鍵在于對新定義的理解，在此基礎(chǔ)上考查了值域的求法，含絕對值不等式，以及含參討論；本題的難點是與二次函數(shù)相關(guān)的含參討論，學生只要做到條理清晰即可解題．