Question

2．已知{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₂+a₃=-1，那么首項a₁的取值范圍是$（{-∞\;，\;-\frac{1}{2}}）$．

Answer 1

分析 由已知得a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$，q＞0，a₁（q-1）＞0，由此能求出a₁的取值范圍．

解答 解：∵{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₂+a₃=-1，
∴q＞0，且${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=-1，
∴a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$，
∵{a_n}是遞增的等比數(shù)列，∴a₂＞a₁，∴a₁q＞a₁，∴a₁（q-1）＞0，
同理，a₃＞a₂，即a₁q²＞a₁q，即a₁q（q-1）＞0，
∴q＞0，a₁（q-1）＞0，
當(dāng)a₁＞0時，有q＞1，由a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$＞0，得：q（1+q）＜0，得：-1＜q＜0，矛盾，舍去；
當(dāng)a₁＜0時，有0＜q＜1，由a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$＜0，得：q（1+q）＞0，得：0＜q＜1符合．
故當(dāng)0＜q＜1時，t=q+q²單調(diào)增，取值為（0，2），
∵a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$，∴a₁的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$）．
故答案為：$（{-∞\;，\;-\frac{1}{2}}）$．

點評 本題考查等比數(shù)列的首項的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．