Question

5．如圖，一個邊長為2的正方形ABCD，E、F、G分別是AD、BC、CD的中點，直線AG∩EF=H，沿EF將其折疊，使得面ABFE⊥面CDEF，得到空間多邊形，連接AD、BC得三棱柱ADE-BCF，K為AG的中點．
（1）求證：直線HK∥平面BCF；
（2）求幾何體AB-CGHF的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點M，連結(jié)MK，ME，證明四邊形MKHE為平行四邊形得出HK∥平面ADE，從而得出HK∥平面BCF；
（2）分別求出三棱柱BCF-ADE和三棱錐G-ADE的體積，使用作差法求出體積．

解答 證明：（1）取AD的中點M，連結(jié)MK，ME
∵M，K分別是AD，AG的中點，
∴MK$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DG，又EH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DG，
∴MK$\stackrel{∥}{=}$EH，
∴四邊形MKHE是平行四邊形，
∴HK∥ME，又ME?平面ADE，HK?平面ADE，
∴HK∥平面ADE，
∵平面ADE∥平面BCF，HK?平面BCF，
∴HK∥平面BCF．
（2）∵V_ADE-BCF=S_△BCF•AB=$\frac{1}{2}×1×1×2$=1，
V_G-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•DG$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
∴幾何體AB-CGHF的體積V=V_ADE-BCF-V_G-ADE=$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．