Question

若數(shù)列{b_n}滿足：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（d為常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的“隔項等差”數(shù)列．
（Ⅰ）若c₁=3，c₂=17，{c_n}是公差為8的“隔項等差”數(shù)列，求{c_n}的前15項之和；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
①求證：數(shù)列{a_n}為“隔項等差”數(shù)列，并求其通項公式；
②設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試研究：是否存在實數(shù)a，使得S_2k，S_2k+1，S_2k+2成等比數(shù)列（k∈N^*）？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：應用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意運用等差數(shù)列的求和公式求解即可，但是注意項數(shù)，及首項，末項，
（Ⅱ）分類討論求解判斷出f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為公差為2的“隔項等差”數(shù)列．
由（S_2k+1）²=S_2k-S_2k+2，則（2k²+2k+a）²=2k²•2（k+1）²，求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）易得數(shù)列{c_n}前15項之和=

(3+59)×8

2

+

(17+65)×7

2

=535
（Ⅱ）根據(jù)題意可得f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|（f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|）．
所以f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為公差為2的“隔項等差”數(shù)列． 
當f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為偶數(shù)時，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|，
當f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為奇數(shù)時，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|；
②當f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為偶數(shù)時，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|；
當f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為奇數(shù)時，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|．                         
故當n=2k時，S2k=2k2，S2k+1=2k2+2k+a，S2k+2=2(k+1)2，
解得a=0．
所以存在實數(shù)a=0，使得S_2k，S_2k+1，S_2k+2成等比數(shù)列（k∈N^*）

點評：本題考查了數(shù)列的實際應用，屬于難題，思維量大，計算量大．