Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）△ABC的內(nèi)角分別是A，B，C，若f（A）=1，cosB=

4

5

，求sinC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖象易知A=1，

1

2

T=

π

2

，可知ω=2，函數(shù)圖象過（

π

6

，1），|φ|＜

π

2

可求得φ，從而可得函數(shù)f（x）的解析式，繼而可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由（I）可知，sin（2x+

π

6

）=1，從而可求得A=

π

6

，sinB=

3

5

，于是利用兩角和的正弦求得sinC的值．

解答： 解：（1）由圖象最高點(diǎn)得A=1，…（1分）
由周期

1

2

T=

2π

3

π

6

=

π

2

，
∴T=π=

2π

ω

，解得ω=2．…（2分）
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）=1，可得sin（2•

π

6

+φ）=1，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）．…（4分）
由圖象可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．…（6分）
（2）由（I）可知，sin（2x+

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

π

2

，A=

π

6

．…（8分）
∵0＜B＜π，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

．…（9分）
∴sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B） …（10分）
=sinAcosB+cosAsinB
=

1

2

×

4

5

+

3

2

×

3

5

=

4+3 3

10

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．