Question

8．己知函數(shù)f（x）=x²+ax的圖象在點(diǎn)A（l，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₅的值為$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得a，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+a，
∴f′（1）=2+a，
∵函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（l，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，
∴（2+a）×$（-\frac{1}{3}）$=-1，
解得a=1．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S₂₀₁₅=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）$
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．