Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓，離心率為且過點，過定點的動直線與該橢圓相交于兩點．

（1）若線段中點的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；

（2）在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）橢圓的離心率公式，及的關(guān)系，求得，得到橢圓的方程；設(shè)出直線的方程，將直線方程代入橢圓，用舍而不求和韋達(dá)定理方法表示出中點坐標(biāo)，此時代入已知中點的橫坐標(biāo)，即可求出直線的方程；（2）假設(shè)存在點，使為常數(shù)，分別分當(dāng)與軸不垂直時以及當(dāng)直線與軸垂直時，求出點的坐標(biāo)，最后綜合兩種情況得出結(jié)論．

試題解析：（1）易求橢圓的方程為，

直線斜率不存在時顯然不成立，設(shè)直線，

將代入橢圓的方程，

消去整理得，

設(shè)，則，

因為線段的中點的橫坐標(biāo)為，解得，

所以直線的方程為．

（2）假設(shè)在軸上存在點，使得為常數(shù)，

①當(dāng)直線與軸不垂直時，由（1）知，

所以

，

因為是與無關(guān)的常數(shù)，從而有，

此時

②當(dāng)直線與軸垂直時，此時結(jié)論成立，

綜上可知，在軸上存在定點，使，為常數(shù)