16.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1(a>0),g(x)=lnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)用max{m,n}表示m,n中的最大值.設(shè)函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析 (I)令f′(x)=0求出f(x)的極值點(diǎn),得出f(x)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間,從而得出f(x)的極值;
(II)對(duì)x和a的范圍進(jìn)行討論得出f(x),g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,利用單調(diào)性及最值判斷f(x),g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),從而得出h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解答 解:( I)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
令f′(x)=0,得x1=0,x2=$\frac{2}{a}$.
∵a>0,x1<x2,
f′(x)及f(x)符號(hào)變化如下,

x(-∞,0)0(0,$\frac{2}{a}$)$\frac{2}{a}$($\frac{2}{a}$,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)極大值極小值
∴f(x)的極大值為f(0)=1,極小值為f($\frac{2}{a}$)=$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{a}^{2}}$+1=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1.
( II)令g(x)=lnx=0,得x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)<0;x=1時(shí),g(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0.
(1)當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0,g(x)在(1,+∞)上無零點(diǎn).
所以h(x)=max{f(x),g(x)}在(1,+∞)上無零點(diǎn).
(2)當(dāng)x=1時(shí),g(1)=0,
所以1為g(x)的一個(gè)零點(diǎn).
f(1)=a-2,
①當(dāng)a=2時(shí),1是f(x)的一個(gè)零點(diǎn).
所以當(dāng)a=2時(shí),h(x)=max{f(x),g(x)}有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)0<a<2時(shí),h(x)=max{f(x),g(x)}有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)a>2時(shí),h(x)=max{f(x),g(x)}無零點(diǎn).
(3)當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)<0,g(x)在(0,1)上無零點(diǎn).
所以h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
當(dāng)a>0時(shí),由( I)可知f(x)在(0,$\frac{2}{a}$)上為減函數(shù),在($\frac{2}{a}$,+∞)上為增函數(shù),
且f(0)=1,f(1)=a-2,f($\frac{2}{a}$)=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$.
①當(dāng)$\frac{2}{a}>1$,即0<a<2時(shí),f(x)在(0,1)上為減函數(shù),且f(1)=a-2<0,f(0)=1>0.
所以f(x)在(0,1)上有1個(gè)零點(diǎn),即h(x)有1個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)$\frac{2}{a}=1$,即a=2時(shí),f(x)在(0,1)上為減函數(shù),且f(1)=a-2=0,
所以f(x)在(0,1)上無零點(diǎn),即h(x)無零點(diǎn).
③當(dāng)$\frac{2}{a}<1$,即a>2時(shí),f(x)在(0,$\frac{2}{a}$)上為減函數(shù),在($\frac{2}{a}$,1)上為增函數(shù),
f($\frac{2}{a}$)=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$>0,所以f(x)在(0,1)上無零點(diǎn).即h(x)無零點(diǎn).
綜上,當(dāng)0<a<2時(shí),h(x)有2個(gè)零點(diǎn),當(dāng)a=2時(shí),h(x)有1個(gè)零點(diǎn),當(dāng)a>2時(shí),h(x)無零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,函數(shù)最值的求法,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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16.已知平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$和$\overrightarrow{c}$在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,關(guān)于非零向量$\overrightarrow{a}$的分解有如下四個(gè)命題:
①給定向量$\overrightarrow$,總存在向量$\overrightarrow{c}$,使$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$;
②給定向量$\overrightarrow$和$\overrightarrow{c}$,總存在實(shí)數(shù)λ和μ,使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$;
③給定單位向量$\overrightarrow$和正數(shù)μ,總存在單位向量$\overrightarrow{c}$和實(shí)數(shù)λ,使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$;
④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量$\overrightarrow$和單位向量$\overrightarrow{c}$,使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$.
則所有正確的命題序號(hào)是①②.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查,在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表,并得到如圖直方圖:
(Ⅰ)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù);
(Ⅱ)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系,對(duì)年級(jí)名次在1~50名和951~1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
是否近視1~50951~1000合計(jì)
年級(jí)名次
近視413273
不近視91827
合計(jì)5050100
根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系?
(Ⅲ)在(Ⅱ)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人,進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣,并且在這9人中任取3人,記名次在1~50名的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005
k2.7063.8415.0246.6357.879
附:
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.
n=a+b+c+d.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知線性方程組的增廣矩陣為$({\begin{array}{l}1&{-1}&-3\\ a&3&4\end{array}})$,若該線性方程組的解為$({\begin{array}{l}{-1}\\ 2\end{array}})$,則實(shí)數(shù)a=2.

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11.求所有的正整數(shù)對(duì)(x,y),滿足xy=yx-y

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2在x=1處取得極值$\frac{1}{6}$.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意的x∈[0,+∞),都有f′(x)≤kln(x+1)成立(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),求實(shí)數(shù)k的最小值;
(Ⅲ)證明:$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}$<ln(n+1)+2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.若函數(shù)f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{4-2x,x≥m}\\{{x^2}+2x-3,x<m}\end{array}}$恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的最大值是( 。
A.1B.1.5C.2D.2.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.已知x3+sinx=m,y3+$\frac{1}{8}$sin2y=-$\frac{1}{8}$m,且x,y∈(-$\frac{π}{4},\frac{π}{4}$),m∈R,則tan(x+2y+$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{3}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知集合M={y|y=-x2+2,x∈R},集合N={x|y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{4-x}$},則(∁RM)∩N=( 。
A.{x|1≤x≤2}B.{x|2<x≤4}C.{x|1≤x<2}D.{x|2≤x<4}

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