Question

18．已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（m，1），C（4，5），
（1）若m=5，求cos2A；
（2）若∠ABC為直角，求實(shí)數(shù)m的取值．

Answer 1

分析 （1）若m=5，求出三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出cosA，即可求cos2A；
（2）若∠ABC為直角，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=0，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若m=5，則B（5，1），
則|AB|=5-1=4，|AC|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，|BC|=$\sqrt{1+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
則cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-17}{2×4×5}$=$\frac{3}{5}$，
則cos2A=2cos²A-1=2×（$\frac{3}{5}$）²-1=-$\frac{7}{25}$；
（2）若∠ABC為直角，則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=0，
即（m-1，0）•（4-m，4）=0，
即（m-1）•（4-m）=0，
解得m=1（舍）或m=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用余弦定理求出cosA，以及三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．