Question

7．在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)E是棱CC₁的中點．
（1）求證：BD⊥AE；
（2）求證：AC∥平面B₁DE；
（3）求三棱錐A-B₁DE的體積．

Answer 1

分析 （1）通過證明BD⊥平面AEC，得出BD⊥AE；
（2）通過△ACC₁的中位線證明線線平行，再證明線面平行；
（3）點A到平面B₁DE的距離等于點C到平面B₁DE的距離，利用等積法求出三棱錐A-B₁DE的體積．

解答 （1）證明：連接BD，AE，

∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵EC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴EC⊥BD，且EC∩AC=C，
∴BD⊥平面AEC，
又AE?平面AEC，∴BD⊥AE；
（2）證明：連接AC₁，設(shè)AC₁∩B₁D=G，

則G為AC₁的中點，E為C₁C的中點，
∴GE為△ACC₁的中位線，
∴AC∥GE，GE?平面B₁DE，AC?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE；
（3）解：由（2）知，點A到平面B₁DE的距離等于點C到平面B₁DE的距離，
∴三棱錐A-B₁DE的體積是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×2×4）×4=$\frac{16}{3}$，
∴三棱錐A-B₁DE的體積為$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了空間中的垂直與平行的判斷與性質(zhì)的應用問題，也考查了求幾何體的體積的問題，是綜合性題目．