Question

已知數(shù)列{a_n}滿足1=a₁≤a₂≤…≤a_n≤…，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

an+1

（

1

an

-

1

an+1

），S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：
（1）對于n∈N^*，0≤S_n＜2；
（2）對于任意c∈[0，2），存在數(shù)列{a_n}使關于n的不等式S_n＞c有無數(shù)個解．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）把b_n=

an

an+1

（

1

an

-

1

an+1

）通分，放大后裂項，求和后結合已知得答案；
（2）由（1）化簡數(shù)列{b_n}的通項公式，由

bn

bn+1

得到使數(shù)列為遞減數(shù)列的條件2a_n+1＞a_n+a_n+2，取n倍的b_n等于c，即可說明存在數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1＞a_n+a_n+2，使得
關于n的不等式S_n＞c有無數(shù)個解．

解答： 證明：（1）b_n=

an

an+1

（

1

an

-

1

an+1

）=

an(an+1-an)

an+1 •an•an+1

=

( an+1 - an )( an+1 - an )

an+1 •an+1

≤

2 an+1 ( an+1 - an )

an+1 • an•an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)．
∵1=a₁≤a₂≤…≤a_n≤…，
∴0≤Sn≤2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)=2(

1

a1

-

1

an+1

)＜2；
（2）由（1）知，bn=

an+1-an

an+1 3 2

，bn+1=

an+2-an+1

an+2 3 2

，

bn

bn+1

=

(an+1-an)•(an+2) 3 2

(an+2-an+1)•(an+1) 3 2

，
存在數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1＞a_n+a_n+2，
則Sn＞

n(an+1-an)

an+1 3 2

=c，取n=n₀使得c∈（0，2）．
∴對于任意c∈[0，2），存在數(shù)列{a_n}使關于n的不等式S_n＞c有無數(shù)個解．

點評：本題考查放縮法求數(shù)列的和，考查了學生的靈活思維和變形能力，對于（2）的證明，轉(zhuǎn)化變形是關鍵，是難題．