Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，從而可得

f′(-1)=3a-2b-3=0 f′(1)=3a+2b-3=0

，從而求出參數(shù)即可；
（2）由題意f（x）=x³-3x在[-1，1]上單調(diào)遞減，且f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，從而轉(zhuǎn)化恒成立問題為2+2≤t．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
故由題意可得，

f′(-1)=3a-2b-3=0 f′(1)=3a+2b-3=0

，
解得，a=1，b=0；
故y=f（x）=x³-3x；
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x在[-1，1]上單調(diào)遞減，
f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，
故對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t可化為2+2≤t，
故t≥4．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于難題．