Question

設(shè)f（x）=mx²+（3-m）x-4（m∈R）
（1）若f（x）的極值點(diǎn)在y軸上，求m的值；
（2）求關(guān)于x的方程f（x）=0有正根的充要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求解導(dǎo)數(shù)，然后，利用x=0是該方程的根，建立等式進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)一元二次方程有正實(shí)根的條件建立不等式組，求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）的極值點(diǎn)在y軸上，
f′（x）=2mx+（3-m）=0，x=0是該方程的根，
∴m=3，
（2）∵mx²+（3-m）x-4=0有正根，
∴當(dāng)m=0時(shí)，此時(shí)x=

4

3

，符合題意，
當(dāng)m≠0時(shí)，若方程有兩個(gè)正實(shí)根，
此時(shí)滿足：

△≥0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，
∴m≤-9，
若方程有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，
則

△＞0 x1•x2＜0

，
∴

(m-3)2+16m＞0 - 4 m ＜0

，
∴

m＜-9或m＞-1 m＞0

，
∴m＞0，
綜上，m≤-9或m＞0
∴m∈（-∞，-9]∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的極值點(diǎn)問題，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題，注意問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化．