Question

13．設(shè)e是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的離心率，且e∈（$\frac{1}{2}$，1），則實數(shù)k的取值范圍是$（0，3）∪（\frac{16}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 對k分類討論，確定焦點的位置，求橢圓的離心率，從而可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：由于橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1，
①若4＞k＞0，a²=4，b²=k，c²=4-k，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4-k}{4}$＞$\frac{1}{4}$，∴k＜3，
則有0＜k＜3；
②若k＞4，則a²=k，b²=4，c²=k-4，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{k-4}{k}$＞$\frac{1}{4}$，∴k＞$\frac{16}{3}$．
則有實數(shù)k的取值范圍是$（{0，3}）∪（{\frac{16}{3}，+∞}）$．
故答案為：$（0，3）∪（\frac{16}{3}，+∞）$．

點評 本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查計算能力，屬于中檔題．