Question

3．已知函數(shù)$f（x）=1+a•\frac{1}{2^x}+\frac{1}{4^x}$．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若對任意x∈[0，+∞），總有f（x）＜3成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）法一、把a=1代入函數(shù)解析式，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在（-∞，0）上的值域；法二、令$t={（\frac{1}{2}）^x}$換元，由x的范圍求出t的范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；
（2）由f（x）＜3，即$a•{（\frac{1}{2}）^x}≤2-{（\frac{1}{4}）^x}$，分離參數(shù)a，然后利用換元法求函數(shù)的最小值得答案．

解答 解：（1）法一、當a=1時，
$f（x）=1+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，1）的值域為（3，+∞）；
法二、令$t={（\frac{1}{2}）^x}$，由x∈（-∞，0）知：t∈（1，+∞），
∴y=g（t）=t²+t+1（t＞1），其對稱軸為直線$t=-\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)g（t）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（t）＞g（1）=3，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）的值域為（3，+∞）；
（2）由題意知，f（x）＜3，即$a•{（\frac{1}{2}）^x}≤2-{（\frac{1}{4}）^x}$，
由于${（\frac{1}{2}）^x}＞0$，$a≤2×{2^x}-\frac{1}{2^x}$在[0，+∞）上恒成立．
若令2^x=t，$h（t）=2t-\frac{1}{t}$，則：t≥1且a≤h_min（t）．
由函數(shù)h（t）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
故φ_min（t）=φ（1）=1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，訓練了分離變量法，是中檔題．