Question

4．過點P（-1，0）作曲線C：y=e^x的切線，切點為T₁，設(shè)T₁在x軸上的投影是點H₁，過點H₁再作曲線C的切線，切點為T₂，設(shè)T₂在x軸上的投影是點H₂，依次下去，得到第n+1（n∈N）個切點T_n+1，則點T₂₀₁₅的坐標為（2014，e²⁰¹⁴）．

Answer 1

分析 設(shè)T₁（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），可得切線方程代入點P坐標，可解得x₁=0，即T₁（0，1），可得H₁（0，0），求出切線方程代入點H₁（0，0），可得T₂（1，e），H₂（1，0），…，由此可推得規(guī)律，從而可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)T₁（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），此處的導(dǎo)數(shù)值為${e}^{{x}_{1}}$，
故切線方程為y-${e}^{{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$（x-x₁），代入點P（-1，0），
可得0-${e}^{{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$（-1-x₁），解得x₁=0，
即T₁（0，1），H₁（0，0），
同理可得過點H₁再作曲線C的切線方程為y-${e}^{{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{2}}$（x-x₂），
代入點H₁（0，0），
可得0-${e}^{{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{2}}$（0-x₂），
可解得x₂=1，故T₂（1，e），H₂（1，0），
…
依次下去，可得T₂₀₁₅的坐標為（2014，e²⁰¹⁴）
故答案為：（2014，e²⁰¹⁴）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線的方程，歸納推理是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．