Question

5．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，AA₁=1，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁
（2）設(shè)A₁B的中點(diǎn)為M，求三棱錐M-AC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C交AC₁于N，則DN為△A₁BC的中位線，證出結(jié)論；
（2）V${\;}_{三棱錐M-A{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{三棱錐{B}_{1}-A{C}_{1}D}$．而V${\;}_{三棱錐{B}_{1}-A{C}_{1}D}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱錐A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱錐{B}_{1}-ABD}$-V${\;}_{三棱錐{C}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，

解答 證明：（1）連結(jié)A₁C交AC₁于N，則DN為△A₁BC的中位線，∴DN∥A₁B，
∵DN?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁
（2）∵AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，∴AB⊥BC，∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•AA₁=2．
∵D是BC中點(diǎn)，∴V${\;}_{三棱錐{B}_{1}-ABD}$=V${\;}_{三棱錐{C}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{6}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$．
連結(jié)AB₁，則M是AB₁中點(diǎn)，∴V${\;}_{三棱錐M-A{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{三棱錐{B}_{1}-A{C}_{1}D}$．
∵V${\;}_{三棱錐{B}_{1}-A{C}_{1}D}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱錐A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱錐{B}_{1}-ABD}$-V${\;}_{三棱錐{C}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴V${\;}_{三棱錐M-A{C}_{1}D}$=$\frac{1}{6}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，幾何體體積計(jì)算，當(dāng)要求幾何體體積不好直接求時(shí)，用作差法求體積是常用方法．