Question

7．已知偶函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且對任意實數(shù)x，恒有f（$\frac{1}{2}$+x）=f（$\frac{1}{2}$-x），當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²．
（1）求證：f（x）為周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈R時，求f（x）的解析式；
（3）解不等式f（sinx）＜f（cosx）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可證明f（x）為周期函數(shù)；
（2）先求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，然后根據(jù)函數(shù)周期性即可求出當(dāng)x∈R時，求f（x）的解析式；
（3）作出函數(shù)在一個周期[-1，1]內(nèi)的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)將不等式f（sinx）＜f（cosx）轉(zhuǎn)化為f（|sinx|）＜f（|cosx|）進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵y=f（x）是偶函數(shù)，且f（$\frac{1}{2}$+x）=f（$\frac{1}{2}$-x），
∴f（$\frac{1}{2}$+x）=f（$\frac{1}{2}$-x）=f（$\frac{1}{2}$+x）=-f（x-$\frac{1}{2}$），
即f（x+1）=-f（x），即f（x+2）=f（x），
則f（x）為周期為2的周期函數(shù)；
（2）若x∈[-$\frac{1}{2}$，0]，則-x∈[0，$\frac{1}{2}$]，
此時f（-x）=（x-$\frac{1}{2}$）²，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=（-x-$\frac{1}{2}$）²=f（x），
即f（x）=（-x-$\frac{1}{2}$）²=（x+$\frac{1}{2}$）²，x∈[-$\frac{1}{2}$，0]，
若x∈[$\frac{1}{2}$，1]，則-x∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
則1-x∈[0，$\frac{1}{2}$]，
∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-1）=-f（1-x）=-（1-x-$\frac{1}{2}$）²=-（x-$\frac{1}{2}$）²．x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
若x∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，則-x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
則f（-x）=-（-x-$\frac{1}{2}$）²=f（x），
即f（x）=-（x+$\frac{1}{2}$）²．x∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
則當(dāng)x∈R時，則f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+\frac{1}{2}）^{2}，}&{x∈[2k-1，2k-\frac{1}{2}]}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}，}&{x∈（2k-\frac{1}{2}，2k）}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}，}&{x∈[2k，2k+\frac{1}{2}]}\\{-（x-\frac{1}{2}）^{2}，}&{x∈（2k+\frac{1}{2}，2k+1]}\end{array}\right.$；
（3）作出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的圖象如圖，
則函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，
則不等式f（sinx）＜f（cosx）．
等價為f（|sinx|）＜f（|cosx|）．
即|sinx|＞|cosx|．
平方得sin²x＞cos²x，
即cos²x-sin²x＜0，
即cos2x＜0，
則2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，
即kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜kπ+$\frac{3π}{4}$，
即不等式的解集為（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)奇偶性和周期性的判斷和應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．