Question

15．已知O為坐標原點，過雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$上的點P（1，0）作兩條漸近線的平行線，交兩漸近線分別于A，B兩點，若平行四邊形OBPA的面積為1，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作出對應的圖象，求出交點坐標，結合平行四邊形的面積建立方程關系求出a的值進行求解即可．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±ax，（不妨設a＞0），
設與y=-ax平行且過P的直線方程為y=-a（x-1）=-ax+a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=-ax+a}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$a）
則平行四邊形OBPA的面積S=2S_△OBP=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$a=1，得a=2，
即雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
則雙曲線的a₁=1，b₁=2，
則c=$\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即雙曲線的離心率e=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查雙曲線離心率的求解，根據(jù)條件求出交點坐標，結合平行四邊形的面積進行求解是解決本題的關鍵．