Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinx-2cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若直線x=x₀是函數(shù)y=f（4x）圖象的對稱軸，且x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）用二倍角的余弦公式變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，求出f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）由x的范圍和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的值域；
（3）由（1）求出f（4x）的解析式，由正弦函數(shù)的對稱軸方程列出方程化簡，由x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]求出x₀的值．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=sinx-cosx-1=$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-1$，
所以f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）-1$=-1； …（2分）
（2）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-1$…（3分）
由x∈[0，π]得x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，則$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$…（4分）
則$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-1∈[-2，\sqrt{2}-1]$
所以值域為[-2，$\sqrt{2}-1$]…（6分）
（3）由（1）得，y=f（4x）=$\sqrt{2}sin（4x-\frac{π}{4}）-1$，…（7分）
令$sin（x-\frac{π}{4}）=±1$ 得，$4x-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$…（9分）
解得$x=\frac{kπ}{4}+\frac{3π}{16}（k∈Z）$，
由$0≤\frac{kπ}{4}+\frac{3π}{16}≤\frac{π}{4}$ （k∈Z）得k=0…（11分）
因此${x}_{0}=\frac{3π}{16}$…（12分）

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的余弦公式變形、兩角和的正弦公式，考查整體思想，化簡、變形能力．