7.已知曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}t}{2}}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$曲線C2的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos(θ-$\frac{π}{4}$),以極點為坐標原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系.
(1)求曲線C2的直角坐標方程;
(2)求曲線C2上的動點M到直線C1的距離的最大值.

分析 (Ⅰ)由ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,x=ρcosθ,能求出C2的直角坐標方程.
(Ⅱ)曲線C1消去參數(shù),得C1的直角坐標方程為$x+\sqrt{3}y+2=0$,求出圓心到直線C1的距離,由此能求出動點M到曲線C1的距離的最大值.

解答 解:(Ⅰ)$ρ=2\sqrt{2}cos({θ-\frac{π}{4}})=2({cos{\;}θ+sin{\;}θ})$,…(2分)
即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),
∴x2+y2-2x-2y=0,
故C2的直角坐標方程為(x-1)2+(y-1)2=2.…(5分)
(Ⅱ)∵曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}t}{2}}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$,
∴C1的直角坐標方程為$x+\sqrt{3}y+2=0$,
由(Ⅰ)知曲線C2是以(1,1)為圓心的圓,
且圓心到直線C1的距離$d=\frac{{\left|{1+\sqrt{3}+2}\right|}}{{\sqrt{{1^2}+{{({\sqrt{3}})}^2}}}}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$,…(8分)
∴動點M到曲線C1的距離的最大值為$\frac{{3+\sqrt{3}+2\sqrt{2}}}{2}$.…(10分)

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法,考查點到曲線的距離的最大值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意點到直線的距離公式的合理運用.

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