Question

7．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}t}{2}}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$曲線C₂的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線C₂的直角坐標方程；
（2）求曲線C₂上的動點M到直線C₁的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ，能求出C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）曲線C₁消去參數(shù)，得C₁的直角坐標方程為$x+\sqrt{3}y+2=0$，求出圓心到直線C₁的距離，由此能求出動點M到曲線C₁的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）=2（{cos{\;}θ+sin{\;}θ}）$，…（2分）
即ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
∴x²+y²-2x-2y=0，
故C₂的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=2．…（5分）
（Ⅱ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}t}{2}}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，
∴C₁的直角坐標方程為$x+\sqrt{3}y+2=0$，
由（Ⅰ）知曲線C₂是以（1，1）為圓心的圓，
且圓心到直線C₁的距離$d=\frac{{\left|{1+\sqrt{3}+2}\right|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}}}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
∴動點M到曲線C₁的距離的最大值為$\frac{{3+\sqrt{3}+2\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查點到曲線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．