Question

2．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動點(diǎn)，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ²=2ρsinθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到|MC|，再由|MN|≤|MC|+r，能求出MN的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ²=2ρsinθ，…（2分）
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0．…（4分）
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得y=-$\frac{4}{3}（x-2）$．…（6分）
令y=0，得x=2，即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為C（0，1），半徑r=1，
∵直線l與x軸的交點(diǎn)是M，∴M（2，0），
∴|MC|=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，…（8分）
∵N是曲線C上一動點(diǎn)，∴|MN|≤|MC|+r=$\sqrt{5}+1$．
故MN的最大值為$\sqrt{5}+1$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段長的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．