Question

3．已知坐標(biāo)平面上兩個(gè)定點(diǎn)A（0，3），O（0，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足：|MA|=2|OM|．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中的軌跡為C，過(guò)點(diǎn)N（-1，3）的直線l被C所截得的線段的長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用|MA|=2|OM|，列出方程即可求點(diǎn)M的軌跡方程，然后說(shuō)明軌跡是什么圖形；
（2）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長(zhǎng)滿足的勾股定理，求出直線l的方程．

解答 解：（1）由|MA|=2|OM|得：$\sqrt{{{（x-0）}^2}+{{（y-3）}^2}}=2\sqrt{{{（x-0）}^2}+{{（y-0）}^2}}$；…1分
化簡(jiǎn)得：x²+y²+2y-3=0，即：x²+（y+1）²=4； …3分
∴點(diǎn)M的軌跡方程是：x²+（y+1）²=4，軌跡是以（0，-1）為圓心，以2為半徑的圓． …4分
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=-1，
此時(shí)直線l被C所截得的線段的長(zhǎng)為：$2\sqrt{{2^2}-{1^2}}=2\sqrt{3}$，
∴直線l：x=-1符合題意； …6分
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y-3=k（x+1），即kx-y+（k+3）=0，
∴圓心到l的距離$d=\frac{|k+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
由題意得：${（{\frac{|k+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}={2^2}$，解得：$k=-\frac{15}{8}$； …8分
此時(shí)直線l的方程為：$-\frac{15}{8}x-y+\frac{9}{8}=0$，即：15x+8y-9=0；
∴直線l的方程為：l：x=-1或15x+8y-9=0． …10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．