Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx（a＞0），
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（x＞0），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上f′（x）≤0，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴$\frac{1}{a}$≤1，又a＞0，∴a≥1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)解答問(wèn)題，是中檔題．