Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2071828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）若a=

1

2

，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)n∈N^*，x＞0，求證：e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

n!=n×（n-1）×…×2×1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）由f（x）=x（e^x-1-ax）得g（x）=e^x-1-ax，則g′（x）=e^x-a．通過討論a≤1，a＞1分別求出a的范圍，
（Ⅲ）可通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：（Ⅰ）a=

1

2

時，f（x）=x（e^x-1）-

1

2

x²，
f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（（x+1）．
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=x（e^x-1-ax）
令g（x）=e^x-1-ax，則g′（x）=e^x-a．
若a≤1，則當(dāng)（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
而g（x）=0，從而當(dāng)x≥0時，g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
而g（x）=0，從而當(dāng)x∈（0，lna）時，g（x）＜0，即f（x）＜0．
所以不合題意，舍去．
綜合得a的取值范圍為（-∞，1]．
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）n=1時，令h（x）=e^x-（1+x），x≥0，
顯然h（0）=0，h′（x）=e^x-1＞0對x＞0成立，∴h（x）在[0，+∞）遞增，
當(dāng)x＞0時，有h（x）＞h（0）=0，即e^x＞1+x，
∴n=1時不等式成立，
（2）假設(shè)n=k時不等式成立，
即e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xk

k!

，
當(dāng)n=k+1時，令m（x）=e^x-（1+

x

1!

+…+

xk+1

(k+1)!

），
顯然m（0）=0，由歸納假設(shè)m；′′（x）=e^x-（1+

x

1!

+…+

xk

k!

）＞0對x＞0成立，
∴m（x）在[0，+∞）遞增，
當(dāng)x＞0時，有m（x）＞m（0）=0，
即e^x＞1+

x

1!

+…+

xk+1

(k+1)!

當(dāng)n=k+1時不等式成立，
綜合（1）（2）得：
n∈N^*，x＞0，e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，是一道綜合題．