已知函數(shù)f(x)＝－alnx．

(1)證明：當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上對(duì)任意的x₁，x₂∈R⁺，都有；

(2)若(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且x∈[，2]時(shí)，|(x)|＜1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

若，＝(sinωx，0)，其中ω＞0，記函數(shù)f(x)＝，若函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m(m為常數(shù))相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列．

(1)求f(x)的表達(dá)式及m的值；

(2)將y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將得到的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)后得到y(tǒng)＝g(x)的圖象；若函數(shù)y＝g(x)，x∈(，3π)的圖象與y＝a的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，試求a的值．

甲、乙兩個(gè)盒子中裝有大小相同的小球，甲盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)紅球，乙盒中有2個(gè)黑球和3個(gè)紅球，從甲乙兩盒中各任取一球交換．

①求交換后甲盒中恰有2個(gè)黑球的概率；

②設(shè)交換后甲盒中的黑球個(gè)數(shù)ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

已知集合，集合N＝{x|mx²－x＞0}，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}的前N項(xiàng)和為S_n，a₁＝1，S_n+1＝2S_n＋3n＋1(n∈N*)．

(1)證明：數(shù)列{a_n＋3}是等比數(shù)列；

(2)對(duì)k∈N*，設(shè)f(n)＝求使不等式f(m)＞f(2m²)恒成立的自然數(shù)m的最小值．

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，兩動(dòng)點(diǎn)M，N滿足＋＋＝，||＝||＝||，向量與共線．

(1)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)若過點(diǎn)P(0，1)的直線與(1)軌跡相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求·的取值范圍．

設(shè)f(x)＝，求滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的值：至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)b，使函數(shù)f(x)的定義域和值域相同．

已知關(guān)于x的不等式：．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求該不等式的解集；

(2)當(dāng)a＞0時(shí)，求該不等式的解集．

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值

(Ⅰ)求a，b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

(Ⅱ)若對(duì)x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c²恒成立，求c的取值范圍．

設(shè)橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0，)，(0，)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線y＝kx＋1與C交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，試求實(shí)數(shù)k的值．