如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，點D是AB的中點．

(Ⅰ)求證：AC⊥BC₁；

(Ⅱ)求證：AC₁∥平面CDB₁．

(Ⅲ)求CB₁與平面AA₁B₁B所成的角的正切值．

已知，，且0＜β＜α＜．

(Ⅰ)求tan2α的值；

(Ⅱ)求β．

已知函數(shù)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，且∈(0，π)，，m∈R．

(1)求的值；

(2)若f(x)－g(x)在[1，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

(3)設(shè)，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f(x₀)－g(x₀)＞h(x₀)成立，求m的取值范圍．

已知圓O：x²＋y²＝8交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，直線：x＝－4為準(zhǔn)線的橢圓．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M是直線上的任意一點，以O(shè)M為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點，求證：直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標(biāo)；

(3)如圖所示，若直線PQ與橢圓C交于G，H兩點，且，試求此時弦PQ的長．

如圖所示，等腰△ABC的底邊AB＝，高CD＝3，點E是線段BD上異于點B，D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE＝x，V(x)表示四棱錐P－ACFE的體積．

(1)求V(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)x為何值時，V(x)取得最大值？

(3)當(dāng)V(x)取得最大值時，在線段AC上取一點M，使得AM＝，求證：MF∥平面APE．

一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：f₁(x)＝x，f₂(x)＝x²，f₃(x)＝x³，f₄(x)＝sinx，f₅(x)＝cosx，f₆(x)＝2．

(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；

(2)現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

已知A，B是△ABC的兩個內(nèi)角，(其中是互相垂直的單位向量)，若．

(1)試問tanA·tanB是否為定值，若是定值，請求出，否則說明理由；

(2)求tanC的最大值，并判斷此時三角形的形狀．

在數(shù)列{a_n}中，如果對任意n∈N*都有(k是不為零的常數(shù))，則稱{a_n}為等差比數(shù)列，k稱為公差比．

(1)證明：公比不為1的等比數(shù)列是等差比數(shù)列，且公比等于公差比；

(2)判斷兩個數(shù)列a_n+1＝2a_n－1(a_n≠1)，b_n＝－λⁿ＋2是否為等差比數(shù)列；

(3)若數(shù)列{c_n}是首項為c₁＝a且c₂＝b(a≠b)，公差比為k的等差比數(shù)列，求{c_n}的通項公式．

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為(0°＜＜90°)，且sin＝，點P到平面α的距離PH＝0.4(km)．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km．當(dāng)山坡上公路長度為lkm(1≤l≤2)時，其造價為(l²＋1)a萬元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB＝1.5(km)，OA＝(km)．

(Ⅰ)在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最�。�

(Ⅱ)對于(Ⅰ)中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最�。�

(Ⅲ)在AB上是否存在兩個不同的點，，使沿折線修建公路的總造價小于(Ⅱ)中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論．

如圖，在多面體ABCDE中，底面△ABC為等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，側(cè)面BCDE是棱形，O點是BC的中點，EO⊥平面ABC．

(1)求證：平面ACD⊥平面BCDE；

(2)求平面ABE與平面ADE所成銳角的余弦值．