已知方程x²-3x+a+4=0有兩個(gè)整數(shù)根．
（1）求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)；
（2）求證：a是負(fù)偶數(shù)；
（3）當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號(hào)時(shí)，求a的值及這兩個(gè)根．

若函數(shù)f（x）對(duì)定義域內(nèi)的任意x都滿足f[f（x）]=x，則稱f（x）為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”；若存在x₀使得f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”
（Ⅰ）已知一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)k，b的值；
（Ⅱ）求證：二次函數(shù)y=ax²+c不可能是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”
（Ⅲ）寫出正弦函數(shù)y=sinx的所有不動(dòng)點(diǎn)（不必寫過程）

已知四邊形ABCD是菱形，DA=DB=2，DD₁⊥面ABCD，點(diǎn)P為線段OD₁上的任一點(diǎn)．
（1）若DD₁=2，DP⊥OD₁，求OD與面D₁AC所成角的正切值；
（2）若二面角C-AD₁-D的平面角的余弦值為

15

5

，求線段DD₁的長．

設(shè)直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px（p＞0，p為常數(shù)）交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)D為拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)．
（Ⅰ）若t=0，且三角形ABD的面積為4，求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△ABD為正三角形時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠BAD
=90°，PA=AD=AB=

1

2

CD=1，M為PB的中點(diǎn)．
（1）試在CD上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面PAD．
（2）點(diǎn)N在滿足（1）的條件下，求直線MN與平面PAB所成角的正弦值．

已知二項(xiàng)式（1-2log₂x）ⁿ的展開式的所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64．
（1）求n的值；
（2）求展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；
（3）求展開式的所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和．

設(shè)首項(xiàng)為a₁，公差為d的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知a₇=-2，S₅=30．
（Ⅰ）求a₁及d；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n2

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，并b_n的最大值．

已知實(shí)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n＞m時(shí)，|a_n|＜

1

2014

恒成立？若存在，求出m的值構(gòu)成的集合．

若4x-y能被3整除，則4x²+7xy-2y²能被9整除．

求下列函數(shù)的定義域：
（1）y=

x

x-1

（2）y=

4x-5

3x-4

-1．