已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a_n+1，求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n，并證明：1≤T_n＜

9

4

．

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，

π

2

），圓C以M為圓心，4為半徑；又直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t+1 y= 3 2 t+ 3

（t為參數(shù)）
（Ⅰ）求直線l和圓C的普通方程；
（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．若相交，則求直線l被圓C截得的弦長．

設(shè)f（x）=lg

1+2x+4xa

3

在（-∞，1]恒成立，求a的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

5

，且對任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=

2

3

（

1

an

+5），求數(shù)列{

bn

3n

}前n項(xiàng)和T_n．

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，且cos（A-

π

3

）=2cosA
（1）若cosC=

6

3

，BC=3，求AC．
（2）若B∈（0，

π

3

），且cos（A-B）=

4

5

，求sinB．

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，a∈R
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，求a的取值范圍．

已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）和車流密度x（單位：輛/千米）滿足關(guān)系式：v(x)=

50，0≤x≤20 kx+60，20＜x≤120

（k∈R）．研究表明：當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)．
（1）求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

已知函數(shù)f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，當(dāng)f（x）=ax時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

已知向量

a

=（

3

sinx，cisx），

b

=（cosx，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函數(shù)f（x）的最值，并指出f（x）取得最值時(shí)x的取值．