已知，，為正實(shí)數(shù)，若，求證：.

在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為2． 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為的正半軸，取相同的長度單位建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與圓C的交點(diǎn)為， 與軸的交點(diǎn)為，求

已知二階矩陣有特征值，及對應(yīng)的一個特征向量

，并且對應(yīng)的變換將點(diǎn)．變換成，求矩陣．

如圖，的直徑的延長線與弦的延長線相交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，求證：．

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若對任意的，存在，

使得成立，則稱數(shù)列為“型”數(shù)列．

（1）若數(shù)列是“型”數(shù)列，且，，求；

（2）若數(shù)列既是“型”數(shù)列，又是“型”數(shù)列，證明數(shù)列是等比數(shù)列．

已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點(diǎn)，且，

求證：（其中是的導(dǎo)函數(shù)）．

某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場，設(shè)計時決定保留空地邊上的一個水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中，，且中，，經(jīng)測量得到．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護(hù)欄．設(shè)計時經(jīng)過點(diǎn)作一條直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場．

（1）假設(shè)，試將五邊形的面積表示為的函數(shù)，并注明函數(shù)的定義域；

（2）問：應(yīng)如何設(shè)計，可使市民健身廣場的面積最大？并求出健身廣場的最大面積．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，其焦點(diǎn)在圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上的三點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），且存在銳角，使

．

① 求證:直線與的斜率的乘積為定值；

② 求的值．

如圖，直角梯形中，∥,,平面平面,為等邊三角形，分別是的中點(diǎn)，．

(1)證明;

(2)證明∥平面;

(3)若,求幾何體的體積．

在中，角的對邊分別為，已知，

且成等比數(shù)列．

(1)求的值；

(2)若，求的值．