在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在橢圓上，到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)是橢圓上的兩點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo).

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品每噸的價(jià)格為百元時(shí)，該商品的月供給量為萬(wàn)噸，；月需求量為萬(wàn)噸，. 當(dāng)該商品的需求量大于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于供給量；當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于需求量，該商品的月銷(xiāo)售額等于月銷(xiāo)售量與價(jià)格的乘積.

（1）若，問(wèn)商品的價(jià)格為多少時(shí)，該商品的月銷(xiāo)售額最大？

（2）記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格，若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求的極值；

（2）在區(qū)間上，對(duì)于任意的，總存在兩個(gè)不同的，使得，求的取值范圍.

在數(shù)列中，已知，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求滿足的正整數(shù)的值；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【選修4-1：幾何證明選講】

如圖，是圓的直徑，弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，過(guò)作的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為，求證：.

【選修4-2：矩陣與變換】

已知矩陣，向量，計(jì)算.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

【選修4-5：不等式選講】

已知，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求證：.

已知甲箱中裝有3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，乙箱中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同. 某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，設(shè)獎(jiǎng)規(guī)則如下：每次分別從以上兩個(gè)箱中各隨機(jī)摸出2個(gè)球，共4個(gè)球. 若摸出4個(gè)球都是紅球，則獲得一等獎(jiǎng)；摸出的球中有3個(gè)紅球，則獲得二等獎(jiǎng)；摸出的球中有2個(gè)紅球，則獲得三等獎(jiǎng)；其他情況不獲獎(jiǎng). 每次摸球結(jié)束后將球放回原箱中.

（1）求在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率；

（2）若連續(xù)摸獎(jiǎng)2次，求獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

在集合中，任取個(gè)元素構(gòu)成集合. 若的所有元素之和為偶數(shù)，則稱為的偶子集，其個(gè)數(shù)記為；的所有元素之和為奇數(shù)，則稱為的奇子集，其個(gè)數(shù)記為. 令.

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）求.