設向量是相互垂直的單位向量，向量與垂直，則實數(shù)________．

已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則________．

已知三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的大圓面積為________．

如圖，在中，，，是邊上一點．

（1）求的面積的最大值；

（2）若的面積為4，為銳角，求的長．

2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災，5.6萬人緊急轉移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災，直接經(jīng)濟損失12.99億元．距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響，適逢暑假，小明調查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）：

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）小明向班級同學發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款．現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助，設抽出損失超過8000元的居民為戶，求的分布列和數(shù)學期望；

（3）臺風后區(qū)委會號召該小區(qū)居民為臺風重災區(qū)扣款，小明調查的50戶居民捐款情況如下表，在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關？

附：臨界值表參考公式：．

直三棱柱中，，分別是的中點，，為棱上的點．

（1）證明：；

（2）是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點的位置，若不存在，說明理由．

已知兩點，直線、相交于點，且這兩條直線的斜率之積為．

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，曲線上在第一象限的點的橫坐標為1，直線、與圓相切于點、，又、與曲線的另一交點分別為，，求的面積的最大值（其中點為坐標原點）．

已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的最大值；

（2）令，討論函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）若，正實數(shù)滿足，證明：

如圖，正方形邊長為2，以為圓心、為半徑的圓弧與以為直徑的半圓交于點，連結并延長交于點．

（1）求證：；

（2）求的值．

在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，曲線的極坐標方程為，正三角形的頂點都在上，且依逆時針次序排列，點的坐標為．

（1）求點的直角坐標；

（2）設是圓上的任意一點，求的取值范圍．