12．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)A時(shí)橢圓C上任一點(diǎn)，且|AF₁|•|AF₂|的最大值為3，以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，焦距為直徑的圓與直線(xiàn)l₁：x+$\sqrt{3}$y+1=0相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l₂與橢圓C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩個(gè)不同點(diǎn)，以O(shè)P，OQ為鄰邊作?OQNP，當(dāng)?OQNP的面積為$\sqrt{6}$時(shí)，證明：|ON|²+|PQ|²為定值．

11．已知數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，…），⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0和⊙C₂：x²+y²+2x+2y-2=0．若⊙C₁和⊙C₂交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分⊙C₂的周長(zhǎng)
（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=1，則當(dāng)⊙C₁面積最小時(shí)，求出⊙C₁的方程．

10．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx-ax²+2a-e），其中a∈R，e=2.71818…為自然數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤1時(shí)，求證：對(duì)任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

9．在△ABC中，若AB=1，C=30°，且△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則sinA+sinB的值為1$+\frac{\sqrt{3}}{2}$．

8．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n+1=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{2}$+$\frac{1}{2}$（n∈N₊）．
（1）若（a₁-1）（a₂-2）＜0，求a₁的范圍；
（2）設(shè)max{a，b}表示a、b兩數(shù)中較大的數(shù)．試證明：對(duì)任意的n∈N₊，都有a_n≤max{1，a₁}．

7．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的正整數(shù)n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

6．如圖的橢圓C₁，C₂的離心率相等，中心均為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，且兩橢圓都過(guò)點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$），設(shè)點(diǎn)F是橢圓C₂的上焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C₁于A，B兩點(diǎn)，交橢圓C₂于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓C₁的左焦點(diǎn)時(shí)，$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
（1）求橢圓C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）平面內(nèi)是否存在與點(diǎn)F不同的定點(diǎn)P，使得∠APC=∠BPD恒成立？若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

5．設(shè)f（x）=e^x-e^-x-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈R時(shí)，e^x+e^-x≥x²+2；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，對(duì)任意n∈N⁺，e^x+e^-x≥2+2[$\frac{{x}^{2}}{2!}$+$\frac{{x}^{4}}{4!}$+…+$\frac{{x}^{2n}}{（2n）!}$]．

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{1}{2}$btx²+c（t²-1）x+t（t≠0）．
（1）當(dāng)a=c=1，b=2時(shí)，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求t的取值范圍；
（2）若g（x）=f′（x）+b（t+1）x-c（t²-2），且當(dāng)|x|≤1時(shí)|g（x）|≤1，求證：當(dāng)|x|≤k＜1時(shí)，|g（x）|≤1+k-k²．

3．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{4}$x+$\frac{3{a}^{2}}{x}$（a≠0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=2x²-me^x（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)a=-$\frac{1}{6}$e時(shí)，對(duì)任意x₁∈[1，4]，存在x₂∈（1，3），使g（x₁）≥f（x₂），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．